Question

y''-2y'-3y=x^2+2x+1+e^3+求的通解

Answer 1

首先需要求出对应的齐次方程的通解，齐次方程为：
y'' - 2y' - 3y = 0
对其特征方程进行求解：
r^2 - 2r - 3 = 0
(r - 3)(r + 1) = 0
得到特征根 r1 = 3, r2 = -1
因此齐次方程的通解为：
y = c1 * e^(3x) + c2 * e^(-x)
对于非齐次方程，可以采用常数变易法，设非齐次方程的一个特解为：
y = Ax^2 + Bx + C
将其代入非齐次方程：
y'' - 2y' - 3y = x^2 + 2x + 1 + e^3
可得：
2A - 2A - 6Ax^2 - 6Bx - 6C = x^2 + 2x + 1 + e^3
化简后可得：
-6Ax^2 - 6Bx - 6C = x^2 + 2x + 1 + e^3
比较系数可得：
-6A = 1，-6B = 2，-6C = 1 + e^3
解得：
A = -1/6，B = -1/3，C = -1/6 - e^3/6
因此非齐次方程的一个特解为：
y = -x^2/6 - x/3 - 1/6 - e^3/6
故原方程的通解为：
y = c1 * e^(3x) + c2 * e^(-x) - x^2/6 - x/3 - 1/6 - e^3/6
其中c1和c2为任意常数。