Question

离散傅里叶变换和z变换的关系

Answer 1

离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）和z变换都是常用的信号处理技术，它们之间的关系可以用以下图表示：

DFT 变换：
f(k)=∑n=0∞f'(n)*ⅇ{{\frac{1}{2}}k^2f(n-1)}{{\frac{1}{2}}(n-1)^2}f'(n) = \sum_{n=0}^{∞}{\frac{1}{2}}*k^2f(n-1)}其中，f(k) 是输入信号，f'(n) 是 k 的傅里叶级数展开的第 n 项，ⅇ 是指数运算，f(n) 是 k 的频域表示。

z变换：
f(k)=∑n=0∞z'(n)*ⅇ{{\frac{1}{2}}k^2f(n-1)}{{\frac{1}{2}}(n-1)^2}z'(n) = \sum_{n=0}^{∞}{\frac{1}{2}}*k^2f(n-1)}其中，f(k) 是输入信号，z'(n) 是 k 的z变换的频域表示。

可以看出，DFT 是 z 变换的离散版本，它们都可以用于信号的频域分析和变换。在实际应用中，常常结合使用这两种变换，以获得更全面和准确的信号分析结果。