Question

高等数学方向导数与偏导数问题

Answer 1

偏导数：函数在某点处延坐标轴正向，随着该自变量的变化，而引起的函数值的变化率。
方向导数：函数在某点的任一方向上，随着该自变量的变化，而引起的函数值的变化率。

因此它们的区别主要如下：
1、比较明显，偏导数只是延坐标轴方向，而方向导数的方向任意；
2、那么是不是当我们延着坐标轴方向求方向导数时，结果会与偏导数一样呢？我们看到如果是求“延着坐标轴正向”的方向求方向导数，与偏导数是一样的；如果是求“延着坐标轴负向”的方向求方向导数，结果与偏导数差一个负号。

方向倒数相当于向量类的，就假如y=x的绝对值，在O处的方向导数是存在的，左方向导数是-1，右方向导数是1，但是0处的偏导数是不存在的，在空间上来说，偏导数存在的话，那个点在那个方向上的切线是存在的，但是方向导数存在，只能说明那条射线是存在的。类似于某点左极限和右极限与极限的关系。

Answer 2

Answer 3

可以理解为等号左边是增量，右边是对x的增量、对y的增量的和，再加上一个无穷小。