Question

矩阵特征值的计算公式是什么？

Answer 1

从定义出发，Ax=cx：A为矩阵，c为特征值，x为特征向量。矩阵A乘以x表示，对向量x进行一次转换（旋转或拉伸）（是一种线性转换），而该转换的效果为常数c乘以向量x（即只进行拉伸）。通常求特征值和特征向量即为求出该矩阵能使旦桐哪些向量（当然是特征向量）只发生拉伸，使其发生拉伸的程度如何（特征值大小）。扩展资料：数值计算的原则：在实践中，大型矩阵的特征值无法通过特征多项式计算，计算该多项式本身相当费资源，而精确的“符号式”的根对于高次的多项式来说很难计算和表达：阿贝尔－鲁费尼定理显示高次（5次或更模滚坦高）多项式的根无法用n次方根来简单表达。对于估算多项式的根的有效算法是有的，但特征值的小误差可以导致特征向量的巨大误差。求特征多项式的零点，即特征值的一般算法，是迭代法。最简单的方法是幂法：取一个备兆随机向量v，然后计算一系列单位向量。[tele.xmck.com.cn/article/436195.html]
[tele.kmfycj.cn/article/870269.html]
[tele.njyakun.cn/article/827509.html]
[tele.kmfycj.cn/article/327856.html]
[tele.randk.com.cn/article/713890.html]
[tele.quycgko.cn/article/142086.html]
[tele.carp2p.cn/article/279453.html]
[tele.watersec.cn/article/592360.html]
[tele.carp2p.cn/article/485019.html]
[tele.e3004.cn/article/193827.html]

Answer 2

首先写出行列式|λE-A|，根据定义,行列式是不同行不同列的项的乘积之和，

要得到λ^(n-1)只能取对角线上元素的乘积（λ-a11)(λ-a22)...(λ-ann)，

所以特征多项式的n-1次项系数是-(a11+a22+...+ann)，

而特征多项式=(λ-λ1)(λ-λ2)...(λ-λn),n-1次项系数是-(λ1+λ2+...+λn)，

所以a11+a22+...+ann=λ1+λ2+...+λn。

由此可以证明特征值的和等于矩阵主对角线上元素之和。

扩展资料

特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值或本征值。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

设A为n阶矩阵，根据关系式Ax=λx，可写出(λE-A)x=0，继而写出特征多项式|λE-A|=0，可求出矩阵A有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值λi代入原特征多项式，求解方程(λiE-A)x=0，所求解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。

若矩阵A可对角化，则其对角矩阵Λ的主对角线元素全部为A的特征值，其余元素全部为0。（一个矩阵的对角阵不唯一，其特征值可以换序。）

参考资料百度百科-特征值