如何求解二阶微分方程的通解?
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二阶微分方程的3种通解公式是y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x,n阶微分方程就带有n个常数,Y=C1 e^(x/2)+C2 e^(-x)。
第一种是由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解,故可得方程的通解是y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x。
第二种是通解是一个解集包含了所有符合这个方程的解,n阶微分方程就带有n个常数,与是否线性无关。
第三种是先求对应的齐次方程2y''+y'-y=0的通解,特征方程为2r²+r-1=0,(2r-1)(r+1)=0,r=1/2或r=-1。故通解为Y=C1 e^(x/2)+C2 e^(-x)。
二阶微分方程
对于一元函数来说,如果在该方程中出现因变量的二阶导数,我们就称为二阶微分方程,其一般形式为F(x,y,y',y'')=0。在有些情况下,可以通过适当的变量代换,把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。
在有些情况下,可以通过适当的变量代换,把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。具有这种性质的微分方程称为可降阶的微分方程,相应的求解方法称为降阶法。
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