Question

求证： lim(n>∞) ln u(n)= e^(-1)

Answer 1

要证明 lim(n→∞) ln u(n) = e^(-1)，首先需要给出序列 u(n) 的表达式或递推关系。假设 u(n) 是一个正序列，且满足：
u(n) = (1 + 1/n)^n
现在我们来证明该极限：
lim(n→∞) ln u(n) = lim(n→∞) ln((1 + 1/n)^n)
由于 ln(a^b) = b * ln(a)，我们可以将指数移到 ln 的前面：
= lim(n→∞) n * ln(1 + 1/n)
然后使用极限的性质 lim(n→∞) n * f(n) = lim(n→∞) f(n) （这里 f(n) 是一个连续函数）：
= lim(n→∞) ln(1 + 1/n)
我们知道 ln(1 + x) 在 x = 0 处的极限是 ln(1) = 0，所以：
= ln(1)
最后，ln(1) = 0，所以：
lim(n→∞) ln u(n) = 0
而 e^(-1) ≈ 0.36787944117
由于 lim(n→∞) ln u(n) ≠ e^(-1)，所以我们不能证明该等式成立。

Answer 2

令 u(n) = (n!开n次方) / n = (n!)^(1/n) /n = [n! / (n^n) ]^(1/n)
ln u(n) = (1/n) [ ln(1/n) + ln(2/n) + ... + ln(n-1)/n + ln(n/n) ]
lim(n->∞) ln u(n) = ∫[0,1] lnx dx 化为 lnx 在【0,1】上的广义积分
= (x*lnx - x) | [0,1] = -1
于是 lim(n->∞) u(n) = e^(-1) = 1/e
所求极限 lim(n->∞) 1/u(n) = e