Question

数三，想问一下二元函数偏导数存在与二元函数可微以及偏导数连续直接存在的关系并证明？

Answer 1

二元函数的偏导数存在与二元函数可微以及偏导数连续之间存在紧密的关系。
假设有一个二元函数 f(x, y)，我们考虑其在某一点 (a, b) 处的偏导数。偏导数表示函数在特定方向上的变化率，可以通过以下方式定义：
∂f/∂x = lim(Δx→0) [f(a+Δx, b) - f(a, b)] / Δx
∂f/∂y = lim(Δy→0) [f(a, b+Δy) - f(a, b)] / Δy
如果 f(x, y) 在点 (a, b) 处可微分，那么这两个偏导数应当存在，并且可以通过求偏导数的极限得到。
现在我们来证明偏导数连续直接存在与二元函数可微的关系：
假设 f(x, y) 在点 (a, b) 处可微分，则存在线性函数 L(x, y) 使得：
f(x, y) = f(a, b) + L(x, y) + ε(x, y)
其中，ε(x, y) 是一个高阶无穷小。
我们考虑偏导数 ∂f/∂x：
∂f/∂x = lim(Δx→0) [f(a+Δx, b) - f(a, b)] / Δx
= lim(Δx→0) [f(a+Δx, b) - f(a, b) - L(a+Δx, b) + L(a, b) + ε(a+Δx, b)] / Δx
由于 f(x, y) 在点 (a, b) 处可微，我们可以将 ε(x, y) 视为高阶无穷小，忽略它对极限的影响。
因此，上式可以简化为：
∂f/∂x = lim(Δx→0) [L(a+Δx, b) - L(a, b)] / Δx
这表明偏导数 ∂f/∂x 可以通过 L(x, y) 在 x 方向上的变化率来表示。
类似地，我们可以证明 ∂f/∂y 可以通过 L(x, y) 在 y 方向上的变化率来表示。
从上述证明可以看出，偏导数存在与二元函数可微以及偏导数连续之间是等价的。如果一个二元函数可微分，则其偏导数在该点连续；反之，如果偏导数在某一点连续，则该点上的二元函数可微分。