Question

曲率半径的公式推导

Answer 1

曲率半径的公式为κ=lim|Δα/Δs|。

ρ=|[(1+y'^2)^(3/2)]/y"|，证明如下：

1、曲线上某点的曲率半径是该点的密切圆（Osculating circle）的半径。密切圆可能是与曲线在该点相内切的圆中半径最大的（比如在椭圆长轴顶点处），也可能是与曲线在该点相外切的圆中半径最小的（比如在椭圆短轴顶点处），也可能两者都不是。

2、比如对于直线上任一点，和直线在该点相切的圆的半径可以任意大，所以直线的曲率半径为无穷大（对应于曲率为零，也就是“不弯曲”）。而在圆上，每一点的密切圆就是其本身，故其曲率半径为其本身的半径。抛物线顶点曲率半径为焦准距（顶点到焦点距离的两倍）。

对于y=f(x),曲率半径等于(1+(f ')^2)^(3/2)/ |f "| 。

Answer 2

对于直线上任一点，和直线在该点相切的圆的半径可以任意大，所以直线的曲率半径为无穷大（对应于曲率为零，也就是“不弯曲”）。而在圆上，每一点的密切圆就是其本身，故其曲率半径为其本身的半径。抛物线顶点曲率半径为焦准距（顶点到焦点距离的两倍）。

对于y=f(x),曲率半径等于(1+(f ')^2)^(3/2)/ |f "| 。

主要作用：

曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度，特殊的如：圆上各个地方的弯曲程度都是一样的故曲率半径就是该圆的半径；直线不弯曲 ，和直线在该点相切的圆的半径可以任意大，所以曲率是0，故直线没有曲率半径。

圆形半径越大，弯曲程度就越小，也就越近似于一条直线。所以说，曲率半径越大曲率越小，反之亦然。

Answer 3

ρ=|[(1+y'^2)^(3/2)/y'']| ，对于y=f(x)，曲率半径等于(1+(f ')^2)^(3/2)/ |f | 。
证明如下：

Answer 4

Answer 5

你单纯的这样说的话是很难找到人去回答你这个问题的，你的具体的说一个什么样的曲线，然后再由微积分的原理去求出它的一个区域变化的函数