Question

圆的标准方程

Answer 1

(x-a)²+(y-b)²=r²。

一、圆的方程：

所表示的曲线是以O(0，0)为圆心，以1单位长度为半径的圆；  

所表示的曲线是以O(0，0)为圆心，以r为半径的圆；  

所表示的曲线是以O(a，b)为圆心，以r为半径的圆。  

确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r，或直接求出圆心(a，b)和半径r，一般步骤为：  

根据题意，设所求的圆的标准方程；  根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；  解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程。

二、方程推导：

在平面直角坐标系中，设有圆O，圆心O(a,b) 点P(x,y)是圆上任意一点。  圆是平面到定点距离等于定长的所有点的集合。  所以。  两边平方，得到。

三、点与圆：

点P（x1,y1) 与圆的位置关系：  

⑴当时，则点P在圆外。  

⑵当时，则点P在圆上。  

⑶当时，则点P在圆内。

直线与圆：

一、位置关系：

平面内，直线与圆的位置关系判断一般方法是：  

1. 由，可得，（其中B不等于0），代入，即成为一个关于x的一元二次乱余方程。利用判别式的符号可确定圆与直线的位置关系如下：  

如果，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。  

如果，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。  

如果，则圆与直线有0交点，即圆与直厅陪迹线相离。  

2. 如果B=0即直线为，即，它平行于y轴（或扮并垂直于x轴），将化为。令y=b，求出此时的两个x值，并且规定，那么：  

当或时，直线与圆相离；  

当时，直线与圆相交；

二、计算方法：

1、代数法：

如果直线方程，圆的方程为,将直线方程代入圆的方程，消去y，得关于x的一元二次方程,那么：  

a. 当△<0时，直线与圆没有公共点；  

b. 当△=0时，直线与圆相切；  

c. 当△>0时，直线与圆相交。  

2、几何法：

求出圆心到直线的距离d，半径为r：

d>r，则直线与圆相离；

d=r，则直线与圆相切；

d<r，则直线与圆相交。