Question

设函数f(x)在x0的某领域内有定义，且函数f(x)在x0处连续， 则lim{x to x0}f(x)=f(x0) 是否正确？

如图所示，是否正确？

Answer 1

是的，如果函数f(x)在x0的某个领域内有定义，并且在x0处连续，那么就有lim{x→x0}f(x)=f(x0)。
这个结论可以利用连续性的定义来证明。在正式证明之前，我们先复习一下函数在某点处连续的定义。
函数f(x)在点x0处连续，需要满足以下三个条件：
1. f(x0)存在（即函数在x0处有定义）；
2. lim{x→x0}f(x)存在（即左右极限和相等）；
3. lim{x→x0}f(x)=f(x0)。
第三个条件说明了当x逐渐接近x0时，f(x)的极限值逐渐接近于f(x0)，从而可以得到lim{x→x0}f(x)=f(x0)的结论。
因此，在题目中给出的条件下，我们可以得到函数在x0处的极限值等于f(x0)，即lim{x→x0}f(x)=f(x0)成立。