Question

怎么证明调和级数收敛？

Answer 1

法一：证明：

∑1/n

=1+1/2+1/3+……+1/n+……

=1+1/2+（1/3+1/4）+（1/5+1/6+1/7+1/8）+（1/9+1/10+……+1/16）+（1/17+1/18+……+1/32）+1/33+……+1/n……

>1+1/2+2*1/4+4*1/8+8*1/16+16*1/32+……+……=1+m/2+……。

m是1/2的个数随着n的增加而增大。当n→∞时，m→∞。∴1+m/2+……发散，故∑1/n发散。

另外，在级数敛散性判断中，un→0只是必要条件非充分条件，“无穷多个无穷小”累积在一起，便“量变到质变”。

法二：如图，用到了比较审敛法。

扩展资料：

调和级数是发散的，有三种方法证明。

1、比较审敛法：

2、积分判别法：

3、反证法：

4、相关思考：

当n越来越大时，调和级数的项变得越来越小，然而，慢慢地——非常慢慢地——它的和将增大并超过任何一个有限值。调和级数的这种特性使一代又一代的数学家困惑并为之着迷。下面的数字将有助于我们更好地理解这个级数。这个级数的前1000项相加约为7.485；

前100万项相加约为14.357；前10亿项相加约为21；前一万亿项相加约为28，等等。更有学者估计过，为了使调和级数的和等于100，必须把10的43次方项加起来。

调和级数是发散的，这是一个令人困惑的事情，事实上调和级数令人不耐烦地慢慢向无穷大靠近，我们可以很容易的看到这个事实，因为S2n-Sn>1/2,而调和级数的第一项是1，也就是说调和级数的和要想达到51那么它需要有2的100次方那个多项才可以。

而2的100次方这个项是一个大到我们能够处理范围以外的数字，在计算机元科学领域，这属于一个不可解的数。

参考资料来源：百度百科-调和级数