Question

幂级数的收敛性判断

对于幂级数y=Σa_n*x^n(如图所示)，已知递推式(见第二幅图)，判断幂级数的收敛性。

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Answer 1

下面给出一个简单的证明。

(1)可以看出a(n+2)是a(n+1)和a(n)的线性组合，而且a(1)=0,因此可以猜想

a(n)是关于β的线性函数，即

过程可以通过数学归纳法来证明，这里不加详细证明，需要过程请追问。

既然本命题成立，因此只考虑β=1的情况即可，因此将系数简记为a_n

(2) 下面给出求收敛半径的简单方法，若需要严谨的证明过程请追问

设比值

由于当n→∞时，(n+1)a_(n+1)是n(n+2)a_(n+1)的高阶无穷小，因此在极限过程中可以忽略不计，因此

即

在极限过程中，如果R_n收敛(不摆动)，那么R_n和R_(n-1)收敛于同一个数值，因此

因此在极限过程中R_n以相当于n的速度发散

然而实际上，如果R_n的发散速度太快，R_n和R_(n-1)的差值就会加大，因此实际上会有误差。但是仍然可以认为R_n发散到无穷。即幂级数在实数域内收敛。

追问

求问R_n的具体收敛速度

追答

其实根据

就有

这时候可以把幂级数的奇数项和偶数项抽出来，组成两个级数，根据上式，两者的收敛半径均以n^2的速度增长。根据幂级数的性质，其在收敛半径内部绝对收敛。再根据绝对收敛的级数可以交换求和顺序的特点，把两者合并成原来的级数，就可以判断原级数在实数域内绝对收敛。至于是否一致收敛，这就需要进一步的证明。关于原级数的收敛半径，在理论上证明比较困难，下面给出数值计算的结果，作为参考：

这是R_n的结果，因为上面已经说明a_n和β是线性的关系，所以R_n的大小和β没有关系。这里为了避免数值过小导致舍入误差过大，因此采用β=10^300，结果如下图所示：

上图的标题应该是a_2=10^300，编辑图注的时候出现失误~

把上图限定在n=50到100之间，以及235到300之间，得到如下两幅图：

下面是n分别为奇数和偶数时的局部图：

所以实际上情况要比较复杂