Question

求分段函数在分段点处的极限要用什么来判定

Answer 1

分段函数在分段点的极限，需要分别讨论左极限和右极限的情况。

设$f(x)$是一个分段函数，在$x=a$处有一个分段点，则：

1. 如果$\lim_{x\to a^-} f(x)$和$\lim_{x\to a^+} f(x)$都存在，且相等，那么$f(x)$在$x=a$处有一个极限，即$\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)$。

2. 如果$\lim_{x\to a^-} f(x)$和$\lim_{x\to a^+} f(x)$都存在，但不相等，那么$f(x)$在$x=a$处不存在极限，即$\lim_{x\to a} f(x)$不存在。

3. 如果$\lim_{x\to a^-} f(x)$或$\lim_{x\to a^+} f(x)$其中之一不存在，那么$f(x)$在$x=a$处也不存在极限，即$\lim_{x\to a} f(x)$不存在。

需要注意的是，在判断分段函数在分段点的极限时，需要先求出左、右极限再进行比较。