二阶常系数齐次线性微分方程。这里第三种情况时，共轭复根，为什么α=-p/2 β=√4q-p²/2
两种形式
第一种，f(t)=(b0t^m+b1t^m-1+…+bm-1t+bm)*e^λt。
特解形式:t^k*(类似上式括号中式子，齐次)*eλt,λ是特征根，k是特征根重数。
第二种，f(t)=＜A(t)cosβt+B(t)sinβt＞*e^αt。
特解形式:t^k*＜P(t)cosβt+Q(t)sinβt＞*e^αt,特征根有α±iβ的形式，k为特征根重数。
扩展资料：
二阶常系数齐次线性微分方程：
1，二阶常系数齐次线性微分方程
标准形式：y″+py′+qy=0。
特征方程：r^2+pr+q=0。
通解
1.两个不相等的实根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)。
2.两根相等的实根：y=(C1+C2x)e^(r1x)。
3.一对共轭复根：r1=α+iβ,r2=α-iβ：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)。
二阶常系数非齐次线性微分方程。
标准形式：
y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
解法：
通解=非齐次方程特解+齐次方程通解。
对二阶常系数线性非齐次微分方程形式ay''+by'+cy=p(x)的特解y*具有形式y*=
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特征根、是单特征根或二重特征根（上文有提），依次取0,1或2。
将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而得特解y*。
多项式法：
设常系数线性微分方程y''+py'+qy =pm
F″(λ)/2!z″+F′(λ)/1!z′+F(λ)z=pm(x) ，这里F(λ)=λ^2+pλ+q为方程对应齐次方程的特征多项式。
升阶法：
设y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，当f(x)为多项式时，设f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an，此时，方程两边同时对x求导n次，得：
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an……
y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)!
y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n!
令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由y^(n+1)与y^n通过倒数第二个方程可得y^(n-1)，依次升阶，一直推到方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，可得到方程的一个特解y(x)。
微分算子法：
微分算子法是求解不同类型常系数非齐次线性微分方程特解的有效方法，使用微分算子法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解记忆较为方便，计算难度也可降低。
引入微分算子d/dx=D，d^2/dx^2=D^2，则有 y'=dy/dx=Dy，y''=d^2y/dx^2=D^2y，于是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)可化为(D^2+pD+q)y=f(x)，令F(D)=D^2+pD+q，称为算子多项式。
F(D)=D^2+pD+q即为F(D)y=f(x)，其特解为y=f(x)/F(D)[3]。
降解法：
如果已知线性微分方程对应齐次方程的一个特解，就可以用降解法求出其解，线性齐次微分方程的特解也可以用降阶法求出。
如下：二阶微分方程是y"＋py'+q=0
特征方程：λ²＋pλ＋q=0
无论如何解为{-b±（b²-4ac）½}／2a
带入得{-p±（p²-4q）½}／2
α=-p／2
β=（4q-p²）½／2《因为根号下面为正嘛 所以调换一下》
这样就是α和β了
则两个
X1+X2=-b/a
X1•X2=c/a
用此可得
2、r1,2=[-p±√(p²4q)² ]/2
=[-p/2 ±√(p²4q)²/2 ]，
=-p/2 ± √(4q-p)²/2 i (因为(p²4q)²<0,所以，得复数）
故，α=-p/2 β=√4q-p²/2
（复根时，r1,2=α ± βi）
我是说α和β
我是说α和β的值为什么等于我上面说的
