Question

设X1X2……Xn为总体N（u,1）的一组样本， 样本最小取多少 可以使得E（X（平均）-u）小于等于0.1？

Answer 1

我们要确定样本大小n，使得E（X（平均）-u）≤ 0.1。首先需要明确，E（X（平均）-u）表示的是样本均值X（平均）与总体均值u之间的差的期望值。对于正态分布N（u, 1），总体均值u和方差1已知。
对于样本均值X（平均），我们知道其期望值为E(X（平均）) = u，方差为Var(X（平均）) = σ^2/n，其中σ^2为总体方差，这里为1。现在我们要求的是样本均值与总体均值之间的差值的期望绝对值小于等于0.1。
我们可以利用切比雪夫不等式来求解这个问题。切比雪夫不等式是一个概率不等式，表示对于任意实数k > 0，一个随机变量X与其期望值μ之间的差值的概率满足：
P(|X - μ| ≥ k) ≤ σ^2 / k^2
这里，我们要求的是P(|X（平均） - u| ≤ 0.1) ≥ 1 - ε，其中ε为我们可以接受的误差范围。
将切比雪夫不等式应用于我们的问题，有：
P(|X（平均） - u| ≥ 0.1) ≤ σ^2 / 0.1^2 = 1 / n
要使E（X（平均）-u）≤ 0.1，我们需要P(|X（平均） - u| ≥ 0.1)尽可能小。假设我们可以接受的误差范围为ε，那么有：
1 / n ≤ ε
求解这个不等式，我们可以得到：
n ≥ 1 / ε
例如，如果我们可以接受的误差范围为1%，即ε = 0.01，那么：
n ≥ 1 / 0.01 = 100
所以，当样本大小至少为100时，E（X（平均）-u）可以小于等于0.1。请注意，这个结果基于切比雪夫不等式的保守估计，实际所需的样本量可能会更小。实际应用中，可以通过模拟实验或更精确的统计方法来确定所需的样本量。