Question

比较审敛法的极限形式

Answer 1

比较审敛法的极限形式包括以下几种：

1、比较判别法：

设有两个正项级数a_n和b_n，若对于所有n都有0≤a_n≤b_n，且∑b_n收敛，则由比较判别法可知∑a_n也收敛；若∑b_n发散，则由比较判别法可知∑a_n也发散。

2、极限比较判别法：

设有两个正项级数a_n和b_n，若存在正常数c，对于充分大的n有lim(a_n/b_n)=c，则由极限比较判别法可知∑b_n收敛与发散性与∑a_n相同。

3、极限对比判别法：

设有两个正项级数a_n和b_n，若lim(a_n/b_n)=0，则由极限对比判别法可知∑b_n收敛则∑a_n也收敛；若∑b_n发散则∑a_n也发散。

4、达朗贝尔判别法（Cauchy审敛法）：

对于一般项为a_n的级数，如果lim[(a_{n+1}/a_n)]存在，则由达朗贝尔判别法可知：

（1）lim[(a_{n+1}/a_n)]<1，则∑a_n绝对收敛；

（2）lim[(a_{n+1}/a_n)]>1，则∑a_n绝对发散；

（3）lim[(a_{n+1}/a_n)]=1，此时达朗贝尔判别法不确定敛散性。

这些审敛法都是通过与已知级数进行比较，利用极限关系来确定待求级数的敛散性。在使用这些方法时，需要注意待比较级数的性质和收敛情况，确保比较合理且有效。

比较审敛法的应用：

1、级数求和：

比较审敛法可以用于判断一个无穷级数的收敛性，从而决定是否可以对该级数进行求和。当待求级数与已知级数之间存在收敛性的关系时，可以通过比较判别法等方法得出待求级数的敛散性。

2、极限计算：

在求极限过程中，有时会遇到含有无穷级数的极限表达式。通过比较审敛法可以帮助确定级数的敛散性，进而对极限进行准确的计算。

3、级数逼近：

比较审敛法在级数逼近方面也有应用。有时候，我们希望用已知的收敛级数去逼近某个数或函数，这时可以通过比较判别法或极限比较判别法来确定逼近的有效性和准确性。