Question

已知函数f（x）＝（x²＋2x＋a）/x，x属于〔1,＋无穷大）。

已知函数f（x）＝（x²＋2x＋a）/x，x属于〔1,＋无穷大）。 （1）当a＝1/2时，求函数f（x）的最小值。（2）若对任意x属于〔1，＋无穷大），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围。

Answer 1

f（x）=x+2+a/x（x>1）
f′（x）=1-a/x^2
（1）a=1/2，f（x）=x+2+1/2x，f′（x）=1-1/2x^2>0，在〔1,＋无穷大）上单调递增，最小值为f（1）=3.5
（2）当a>=0，x²＋2x＋a在〔1,＋无穷大）上恒＞0，f（x）＞0恒成立

当a<0，Δ=4-4a>0，若要x²＋2x＋a在〔1,＋无穷大）上恒＞0
则（-2+2√（1-a））/2<1
√（1-a）<2
-4<1-a<4
-3<a<5
则有-3<a<0
综上所述，a>-3时对任意x属于〔1，＋无穷大），f（x）＞0恒成立。

Answer 2

(1)f(x)＝(x²＋2x＋a)/x
f(x)=x+a/x+2
f(x)≥2√(x*a/x)+2=2+√2
(2) x∈(1，+∞）
f(x)>0 则 x²＋2x＋a>0
Δ=4-4a<0
a>1