Question

1+lna为什么等于ln(a+1)？

Answer 1

这里的1 + ln a实际上是加法结合律的写法，可以把它拆开成（ln e^1）+ ln a = ln e^1 * a。
移项并使用“乘法化简”规则，可得：
ln a + 1 = ln (e * a)
既然 e 是常数的底数，则为了进一步简化该式，我们将其改写为：
ln a + ln e = ln (e * a)
再次应用对数运算法则，左侧变为一个对数之和，右侧则变为乘积形式:
ln (ae) = ln (a + 1)
观察最后一步中等号右侧的式子，根据题目的设定，可知其中的 (a + 1) 实际上就是待求解的表达式 1 + ln a。因此，我们可以将整个等式简化为：
ln (ae) = 1 + ln a
最后两边同时取自然对数，即得出：
ln [ln (ae)] = ln (1 + ln a)
再次使用指数转化公式，把右侧全部换成指数形式：
ln [ln (ae)] = log_e(e^(1+ln a))
通过同底数幂与对数函数互为反函数的性质，消去左右两边的 ln 函数，得到 e 的幂次方形式：
ln (ae) = e^(1+ln a)
再次从 left 边开始安排计算，首先使用对数定义拆开其中的 ln e：
ln ae = eln (a+1)
再次消去左右两边的自然对数函数后得到指数形式：
ae = e^(a + 1)
用除法运算化简，并注意约分
a + 1= ln(ae) = ln(a + 1)，即当a>0时1+ln a等于ln(a+1)。因此有：
1 + ln a = ln (a+1)，并得证。