Question

复变函数积分的类型及其解法

Answer 1

对于给定的一元复变函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，它的积分有如下几种情况：
(1)一般复变函数在已知实区间上的定积分：不妨设这个区间为[a,b]，这时候y=0，w是关于实变量x的一元函数，只需要对实部u和虚部v分别积分即可。
(2)一般复变函数在已知曲线(非闭合)上的积分：为了讨论一般情况，设曲线的参数方程为x=x(t)，y=y(t)，其中t的取值范围为[a,b]。那么实部u和虚部v以及x、y都可以化为关于实变量t的一元函数，从而转化为(1)的情况。【要是t是复数怎么办？说明参数方程取的不合理，继续转化为实变量】
(3)解析函数在已知曲线(非闭合)上的积分：除了前面两种方法以外，还可以利用解析函数的特性求解。因为解析函数在单连通域上的积分与路径无关，因此可以利用牛顿-莱布尼兹公式求解。为此要先求出被积函数的原函数，然后求出原函数在路径端点的函数值之差即可。
(4)复变函数在已知闭合曲线上的积分：除了(1)(2)中提到的方法外，可以通过闭路变形原理、柯西积分公式、柯西积分定理、高阶导数公式来求解。