Question

已知a>0,b>0,a+b=3ab求3a+b的最小值

Answer 1

因为a+b=3ab，
所以13⋅(1a+1b)=1，
所以a+b=13(1a+1b)(a+b)
=13(2+ba+ab)
⩾13(2+2√ba⋅ab)=43，
当且仅当ba=ab，即a=b=23时等号成立，
所以a+b的最小值为43．

Answer 2

a>0,b>0,a+b=3ab

则整理可得：

1/a+1/b=3

利用柯西不等式有：

(1/a+1/b)(3a+b)≥(√3+1)^2=4+2√3

则3a+b≥4/3+2√3/3

取等条件为：

a=1/3+√3/9

b=1/3+√3/3