Question

闭区间连续函数性质证明题：设f(x)在[a,b]上连续，a<c<d<b,p和q为正常数…

闭区间连续函数性质证明题：设f(x)在[a,b]上连续，a<c<d<b,p和q为正常数…设f(x)在[a,b]上连续，a<c<d<b,p和q为正常数。
证明：存在σ属于[a,b],使得(p+q)f(σ)=pf(a)+qf(b)
闭区间上连续函数的性质，似乎是连续性和有界性证明……⊙_⊙求步骤细致

Answer 1

因为f(a)p/(p+q)+f(b)q/(p+q)是f(a),f(b)的加权平均值，不妨设f(a)<=f(b),则有平均值在两数之间，有f(a)<=f(a)p/(p+q)+f(b)q/(p+q)<=f(b),
因为函数f(x)在[a,b]连续，由连续函数的介值性定理，在[a,b]内必有某c，使
f(c)=f(a)p/(p+q)+f(b)q/(p+q),
两边乘p+q,即得所证等式。