Question

在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且btanA,ctanaB,btanB成等差数列

在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且btanA,ctanaB,btanB成等差数列在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且btanA,ctanaB,btanB成等差数列。

求角A-
若a=2，试判断当bc取最大值时△的形状，并说明理由

Answer 1

根据已知条件，有：
2ctanB=btanA+btanB
整理得到：
tanA/tanB=(2c-b)/b=2(c/b)-1
又根据正弦定理：c/b=sinC/sinB，代入上式得到：
(sinA/sinB)(cosB/cosA)=tanA/tanB=(2sinC/sinB)-1
sinAcosB=2sinCcosA-sinBcosA
sin(A+B)=2sinCcosA
根据三角形内角和的关系，所以：C=π-A-B，所以sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)
代入上式，并注意sin(A+B)≠0，方程两边可以同时除以sin(A+B)，整理得到：
cosA=1/2
所以A=π/3（即60°）
当a=2时，根据正弦定理：
2/(√3/2)=a/sinA=b/sinB=c/sinC
得到：
b=4sinB/√3
c=4sinC/√3=4sin(π-A-B)/√3
所以：
bc=(16/3)sinBsin[(2π/3)-B]
=(8/3)｛cos[2B-(2π/3)]-[cos(2π/3)]｝【这一步是积化和差公式】
=(8/3)｛cos[2B-(2π/3)]+(√3/2)]｝
当且仅当2B-(2π/3)=0时bc有最大值，此时：B=π/3=A
所以此时三角形三个内角均为π/3，三角形为等边三角形。