Question

已知f(x)=ax^2-c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围.

已知f(x)=ax^2-c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围.为什么这种解法会扩大f(3）的取值范围

Answer 1

由①②两个式子要么得出a的取值范围，要么得出c的取值范围，它们的取值范围是能使①②式子成立的前提条件，如果任何一个超出那个范围，另一个无论如何取值，都不可能使①②同时成立，比如c取0或者8，a是无解的。但并不是a、c在各自范围随意取值，都能使①②成立，如果一个数字确定了，另一个数字就有了一定的取值范围，这个范围比题目中得出的范围要小，比如c=1，a只能得0，a就不再是一个范围了，如果c=7，a也是一个确定的值。所以，a、c的取值范围不能共存。题目中的方法把a和c的那个范围当做是共存的了，所以最后的范围就扩大了。

Answer 2

你把求出来的a与c的取值范围分别带入f(1),f(2)中,结果都比题目所给的f(1),f(2)的取值范围大
这里最好用待定系数法解答,这样就不会扩大范围
f(3)=9a-c=mf(1)+nf(2)
=m(a-c)+n(4a-c)=(m+4n)a+(-m-n)c
对照系数有
9=m+4n
-1=-n-m
所以
n=8/3
m=-5/3
故
-1=5/3 -8/3≤f(3)≤20/3 +40/3=20

Answer 3

那一步“①×4+②”出问题了
就像1＜10 且 1＜100 ，你把左右一加得到了2＜110的道理一样
左边的1＜10中1跟10相差9，1＜100 中1跟100相差99，但2＜110这个式子中2跟110就相差了108.意思是本来不等式两边就会相差一定的范围，再相加或相减得到的新不等式范围其实无形中增加（或更加扩展）了。
不能这样解。

应该是f(3)=9a-c f(1)=a-c f(2)=4a-c.
设f(3)=9a-c=m(a-c)+n(4a-c)拆括号得(4n+m)a-(m+n)c=9a-c
令4n+m=9,-(m+n)=-1 得n=三分之八 m=负三分之五
负三分之三十二≤mf(1)≤负三分之八，负三分之二十五≤nf(3)≤三分之五
把这两个式子左边与左边相加，右边与右边相加
得 负三分之七≤m(a-c)+n(4a-c)≤-1
中间那一串不就是我们设的f(3)吗？
所以f(3)就是负三分之七≤f(3)≤-1了
如果不懂再把你不懂的地方补充说明一下啊
我给你讲