Question

已知随机变量X~N（0，1），则随机变量Y=2X+1的概率密度fy(Y)?

Answer 1

X~N（0，1），
随机变量Y=2X+1也服从正态分布，
EY=2EX+1=1,DY=4DX=4,
所以，fY(y)=[1/√(8π)]e^[-(y-1)^2/8],(-∞<y<∞)

又解：
P(Y≤y)=P(2X+1≤y)
=P[X≤(y-1)/2]
=[1/√(2π)]∫[-∞,(y-1)/2]e^(-t^2/2)dt
两边对y求导，得，
fY(y)=[1/√(8π)]e^[-(y-1)^2/8],(-∞<y<∞)。

倒数第2步或用变量代换，令t=(u-1)/2,得
P(Y≤y)=P(2X+1≤y)
=P[X≤(y-1)/2]
=[1/√(2π)]∫[-∞,(y-1)/2]e^(-t^2/2)dt
=[1/√(8π)]∫[-∞,y]e^[-(u-1)^2/8]du
fY(y)=[1/√(8π)]e^[-(y-1)^2/8],(-∞<y<∞)。