Question

第2（2）题，利用单调有界收敛准则证明Xn的极限存在

Answer 1

证明：
∵
x(n+1) =√[2+x(n)]
x(1)=√2
显然，x(n)>0
[x(n+1)]² - [x(n)]²
=2+x(n)-[x(n)]²
=-[x(n) -2][x(n)+1]
假设：x(n)<2，那么：
1°
x(1)=√2<2
x(2)=√(2+√2)<√(2+2)=2
x(3)=√[2+√(2+√2)]<√[2+√(2+2)]=2
2°
令：n=k时，x(k)<2也成立，那么当n=k+1时：
x(k+1)=√[2+x(k)]<√(2+2)=2
因此：当n=k+1时，x(k+1)<2也成立！
综上，x(n)<2
于是：
[x(n+1)]² - [x(n)]²
=2+x(n)-[x(n)]²
=-[x(n) -2][x(n)+1]>0
∴
x(n+1) >x(n)
对于数列{x(n)}：
1）x(n+1) >x(n)，数列单调递增；
2）x(n)<2，该数列有上确界
∴数列{x(n)}极限存在！
设：lim(x→∞) x(n)=A
对x(n+1) =√[2+x(n)]两边求极限，于是：
A=√(2+A)
解得：A=2和-1
根据极限保号性，A=-1舍去，因此：
lim(x→∞) x(n)=2