Question

什么叫矩阵的秩,举个例子

Answer 1

矩阵的秩是线性代数中的一个概念。

原因如下：

设A是m×n的矩阵，可以通过证明Ax=0和A'Ax=0两个n元齐次方程同解证得r(A'A)=r(A)。

1、Ax=0肯定是A'Ax=0的解，好理解。

2、A'Ax=0→x'A'Ax=0→(Ax)'Ax=0→Ax=0。

故两个方程是同解的。同理可得r(AA')=r(A')。另外有r(A)=r(A')。所以综上 r(A)=r(A')=r(AA')=r(A'A)。

矩阵的秩不等式

矩阵A的秩等于矩阵A的转置的秩，也即矩阵的行秩=列秩。证明思路：一个矩阵经过一系列初等变换，都可以对应到一个标准型，而标准型的非零行数就是矩阵的秩。又因为矩阵的标准型是唯一的，所以矩阵的行秩与矩阵的列秩一定相等。

矩阵A的秩等于矩阵A转置乘矩阵A的秩。证明思路：分别构造构造齐次的线性方程组，Ax=0与A转置乘Ax=0同解。因为可以使用前面一个方程式子推到后面一个方程式，反之，倒过来也成立。两个方程组同解，故秩相等，即得到证明。

比如方程AX=BA是矩阵,B是列向量,X是未知数列这个方程组中有几个独立的方程,系数矩阵A的秩就是多少.例如三维问题x+2y+z=32x+y+3z=53x+2y+4z=8三个方程中,(3)=(1)+(2)只有2个独立方程,系数矩阵的秩就是2

换言之,一个矩阵中,如果某一行(或列),可以由其他行(或列)通过代数运算得到(术语上称该行(或列)向量能够用其他行(或列)向量线性表示）,则该矩阵的秩减1；如果任何一行(或列)都不能由其他行(或列)线性表示,则矩阵满秩；