Question

使用三角代换求不定积分时用x=asint跟x=acost算出来的结果不一样。

使用三角代换求不定积分时用x=asint跟x=acost算出来的结果不一样。那就定积分时算的结果也不一样，是我算错了吗？求这个定积分

Answer 1

基本代换之一

Answer 2

代换后范围不同

追问

这一步怎么相等呢

追答

没学过吗

追问

那上面也应该是–π吧

追答

哦哦，等哈，我看看

上面也应该是π

追问

为什么

这不符合积分性质啊

追答

我慢慢给你解释

三角代换要规定定义域

不然开方出来就是-sinx

只有在(0,π)，开出来才是正的

(-π,0)开出来是-sinx

所以不好意思开始就是

π

我写错了

追问

刚开始就是上限是0，下限是π？

追答

嗯嗯

如果是（-π,0）也可以算，就是开始开根号出来是-sinx,最后算出啦也是2π

追问

等等，容我想一想

Answer 3

解：原是=2积分0 2（4-x^2)^1/2dx
令x=2cost,
dx=2x(-sint)dt=-2sintdt
0<=x<=2
0<=2cost<=2
0<=cost<=1
arccos1<=t<=arccos0
0<=t<=pai/2
原是=-8积分0 pai/2 sin^2tdt
=-8积分0 pai/2 (1-cos2t)/2dt
=-4积分0 pai/2(1-cos2t)dt
=-4（积分0 pai/2 dt-积分0 pai/2cos2tdt)

=-4(pai/2-1/2积分0 pai/2cos2td2t)
=-4(pai/2-1/2 sin2t/0 pai/2)
=-4(pai/2-1/2(sinpai-sin0)
=-4(pai/2-0)
=-4xpai/2
=-2pai。
答：答案是-2pai。

追问

令x=2sint时算的是π/2为什么

Answer 4

设x＝2sint，t属于[-π/2,π/2]
原式＝∫(-π/2,π/2)4cos^2tdt
＝∫(-π/2,π/2)2(1+cos2t)dt
＝2t+sin2t(-π/2,π/2)
＝2π

追问

那设x=2cost呢？

追答

那么t的单位是[0,π]
其余都是一样的