Question

高中数学 设x=θ 函数f（x）＝sin x - 2cos x 取得最大值，则cosθ＝？

我知道过程和答案
f(x)=√5[sinx*(1/√5)-cosx*(2/√5)]=√5sin[x-arccos(1/√5)]
sin[x-arccos(1/√5)]=1时，x-arccos(1/√5)=2kπ+π/2, k∈N
cosθ=cos(2kπ+π/2+arccos(1/√5)=-sin[arccos(1/√5)]=-(2√5)/5
我想问各位大神为什么一定要拆根号5出来？是有什么公式要这样拆？为什么不拆个2，或是其他呢？
谢谢给我解答的朋友。

Answer 1

这是利用三角函数的和差公式，
sin(x+y)=sinx·cosy+cosx·siny
对比这个公式和题目可以发现如果存在一个y值使得
cosy=1 siny=-2 的话，就可以利用该公式，
但是显然这样的y不存在，而我们知道 (cosy)²+(siny)²=1
这里如果我们提取一个数a，使得 cosy=1/a,siny=-2/a满足上面的式子的话，就可以有
sin x - 2cos x=a·sinx·cosy+a·cosx·siny=a·sin(x+y) 这样就可以利用公式了。
那么这个a为多大呢 代入公式可知 (1/a)²+(-2/a)²=1 也就是 (1)²+(-2)²=a²
所以 a²=5，也就是a=±√5（正负都可以，但一般习惯于取正数）

常规方法
对于任意的 asinx+bcosx=[√(a²+b²) ]sin(x+y),其中y=arctan（b/a）

Answer 2

待续

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十分感谢～