Question

求解一道数学题：在线等！很急

若a>0,b>O,c>0,且abc=1,求证：1<1/(1+a)+1/(1+b)+1/(1+c)<2

Answer 1

(1+a)(1+b)(1+c)=(1+ab+a+b)(1+c)=1+c+abc+ab+a+ac+b+bc=2+a+b+c+ab+ac+bc

1/(1+a)+1/(1+b)+1/(1+c)
=(1+bc+b+c+1+ac+a+c+1+ab+a+b)/[(1+a)(1+b)(1+c)]
=[2+2(a+b+c)+ac+ab+bc]/(2+a+b+c+ab+ac+bc)
=1+(a+b+c)/(2+a+b+c+ab+ac+bc)
a>0,b>O,c>0
0<(a+b+c)/(2+a+b+c+ab+ac+bc)<1
所以1<1/(1+a)+1/(1+b)+1/(1+c)<2

没写出来，我以为这是最笨的办法，一定好麻烦的。写出来才发现，大繁若简！～～

Answer 2

解：

a .b .c 正号
a .b 负.c 正（舍）
因为abc=1
abc>0
ab*c=1
当c>1,ab=1/c <1
要么都是abc1，则1<qq<2
要么至少有一个大于1，则(他式子)分母大于分子
则1<pp<2

相信我啦~~别着急……

Answer 3

1/(1+a)+1/(1+b)+1/(1+c)-1
=[(1+b)(1+c)+(1+a)(1+c)+(1+b)(1+a)-(1+a)(1+b)(1+c)]/(1+a)(1+b)(1+c)
=[(1+a)(1+c)+(1+b)(1+a)-a(1+b)(1+c)]/(1+a)(1+b)(1+c)
=[(1+b)(1+a)-(ab-1)(1+c)]/(1+a)(1+b)(1+c)
=(1-abc+1+a+b+c)/(1+a)(1+b)(1+c)
=(1+a+b+c)/(1+a)(1+b)(1+c)>0
1/(1+a)+1/(1+b)+1/(1+c)-2
=[(1+b)(1+c)+(1+a)(1+c)+(1+b)(1+a)-2(1+a)(1+b)(1+c)]/(1+a)(1+b)(1+c)
=(3+2a+2b+2c+ab+cb+ac-2-2a-2b-2c-2ab-2ac-2bc-2abc)/(1+a)(1+b)(1+c)
=-(1+ab+cb+ac)/(1+a)(1+b)(1+c)<0 所以1<1/(1+a)+1/(1+b)+1/(1+c)<2

Answer 4

先证左边，通分后移上去!两边消去同类项，思路应该是这样!

Answer 5

通分之后，常数3=3abc~~~