Question

已知函数fx=e^x(x^2+ax+a),若a<0,关于x的不等式fx≤e^a在【a,正无穷)上有解,求实数a的取值范围?

Answer 1

f'(x)=e^x*[x^2+(a+2)x+2a]
=e^x*(x+2)(x+a),
a=-2时f'(x)=e^2*(x+2)^2>=0,f(x)是增函数；
a<x<-2或-2<x<a时f'(x)<0,f(x)是减函数，其他，f(x)是增函数。
∴a>=-2时f(x)在[a,+∞)上是增函数，f(x)<=e^a在[a,+∞)上有解，
<==>f(a)<=e^a,
<==>2a^2+a-1<=0,
解得-1<=a<=1/2,已知a<0,
故-1<=a<0.
a<-2时f(x)<=e^a,
<==>f(-2)=e^(-2)*(4-a)<=e^a,
取对数得-2+ln(4-a)<=a,
∴0<ln(4-a)<=a+2<0，矛盾。
综上，-1<=a<0,为所求。