求解一道中值定理题目,图中红色圈住的怎么推导出来的?

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软炸大虾
2017-05-06 · TA获得超过6554个赞
知道大有可为答主
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这道题的条件不够明确,应该是:极限lim(x→0+)f(x)/x 存在,且小于零。
如果缺少了极限存在这个条件,并不一定能得到f(0)=0.
我可以举一个反例:
f(x)=x-0.5,满足:函数f(x)在区间[0,1]上二阶可导,f(1)=0.5>0,
且 lim(x→0+)f(x)/x =-∞<0,注意这里极限不存在。显然f(0)=-0.5≠0
-------我---------是----------分----------割-----------线-------------
下面说一下在极限lim(x→0+)f(x)/x 存在的条件下,为何f(0)=0.
因为上述极限存在,不妨假设其为A。由题设,显然f(x)在点x=0右连续,则有:
f(0)=lim(x→0+)f(x)
= lim(x→0+) x*[f(x)/x]
= lim(x→0+) x* lim(x→0+) [f(x)/x]
=0*A=0
即 f(0)=0.
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