Question

若4x的平方加2xy加3y的平方等于1,求2x减y的最值

若4x的平方加2xy加3y的平方等于1,求2x减y的最值

Answer 1

max：√(20/11)
min：-√(20/11)
解析：
//已知4x²+2xy+3y²=1，求2x-y的最值//
●解法--“拉格朗日法求最值”
设
F(x，y，λ)
=(2x-y)+λ(4x²+2xy+3y²-1)
∂F/∂x=2+λ(8x+2y)=0............①
∂F/∂y=-1+λ(2x+6y)=0...........②
∂F/∂λ=4x²+2xy+3y²-1=0.......③
由①②得，
-2/(8x+2y)=1/(2x+6y)
(8x+2y)+(4x+12y)=0
12x+14y=0
y=-6x/7
将上式代入③，得：
4x²+2x(-6x/7)+3(-6x/7)²-1=0
4x²*49+2x(-6x)*7+3(-6x)²-49=0
196x²-84x²+108x²-49=0
112x²+108x²-49=0
220x²-49=0
x=+/-(7/√220)
y=-/+(6/√220)
～～～～～～～～～
(2x-y)max
=20/√220
=√(400/220)
=√(40/22)
=√(20/11)
～～～～～～～～～
(2x-y)min=-√(20/11)

Answer 2

设2x-y=t，代入条件式得
4x²+2x(2x-t)+3(2x-1)²=1，
即20x²-14tx+3t²-1=0，
判别式不小于0，故
196t²-80(3t²-1)≥0，
即-√(20/11)≤t≤√(20/11)
故所求最大值√(20/11);
所求最小值为-√(20/11)。