Question

大一高等数学问题 用微分解

大一高等数学问题
用微分解已知圆柱形工件，半径为1cm，长度为10cm，现要在工件侧面镀上一层厚度为0.001cm的铜，估计一下需要多少铜(铜的密度为9g/cm³)。

Answer 1

按中学方法计算如下图:

此方法误差主要在于侧面，其次是平面和侧面的交界处。
如图所示，黑色表示圆柱体轮廓，蓝色表示镀层轮廓。

用微积分精确计算如下:(等会追答)

追答

整个镀层体积分为 V平、V测和V交界 三部分，下面计算V交界如下图所示:(有一步积分过程参见附件)

V平 即圆柱上下表面平面部分，V测用圆环公式即可。计算如下图:

最后把V加起来×密度即可。(可以对比前面的简单计算，差别有多大)

只算侧面自己提取就行了。

要用微积分来算侧面体积如下图:

Answer 2

m = ρV = ρπL(R^2-r^2) = 9π10[(1+0.001)^2 -1] (用泰勒公式）
≈ 90π0.002 = 0.18π = 0.565 g