Question

不定积分，大神来，很烦的一道题

Answer 1

这个积分∫(cosx)(lnx) dx的原函数不是初等函数,要引用正弦积分函数Si(x)表示.
∫ cosx * lnx dx
= ∫ lnx d(sinx)
= sinx * lnx - ∫ sinx d(lnx)
= sinx * lnx - ∫ sinx / x dx
= sinx * lnx - Si(x) + C
Si(x)的导数就是sinx / x
或者题目是∫ cos(lnx) dx,这个可以求得
令u = lnx,x = e^u,dx = e^u du
∫ cos(lnx) dx
= ∫ cosu * e^u du
= ∫ e^u d(sinu)
= e^u * sinu - ∫ sinu d(e^u)
= e^u * sinu - ∫ e^u * sinu du
= e^u * sinu + ∫ e^u d(cosu)
= e^u * sinu + e^u * cosu - ∫ cosu d(e^u)
= e^u * sinu + e^u * cosu - ∫ e^u * cosu du
∵2∫ e^u cosu du = e^u * (sinu + cosu)
∴∫ e^u * cosu du = (1/2)e^u * (sinu + cosu) + C
= (1/2)x * [sin(lnx) + cos(lnx)] + C

追问

明白了，谢谢