Question

反三角函数定义域的问题

为什么arcsinx的定义域是负二分之派到二分之派？
而为什么arccosx的定义域又是0到π？？
arctanx，和arccotx的定义域又是什么？为什么呢？我该怎么一下把他们记住呢？
希望能够详细讲解一下，还会追加分数，谢谢！

Answer 1

教你个好方法，我以前一直用。
首先，记住arcsin的定义域是[-π/2,π/2],arccos的定义域是[0,π]
所以，想办法把sin,cos的变量变到相应的范围内即可。
举个例子：
y=sin(x),，定义域是[π/2,π]
这样做：y=sin(x)=sin(π-x),这样一来，(π-x)就属于[0,π/2]就在arcsin的定义域范围[-π/2,π/2]里了，从而：π-x=arcsin(y),反函数就是：y=π-arcsin(x)了。
再来个例子：
y=cos(x)，定义域是[-3π/2，-π]
这样做：y=cos(x)=(2π+x),这样一来，(2π+x)就属于[π/2,π]就在arccos的定义域范围[0,π]里了,从而：2π+x=arccos(y),反函数就是：y=arccos(x)-2π了。

Answer 2

根据三角函数的定义:

y=arcsinx的定义域是[-1,1],值域是[-π/2,π/2]

y=arccosx的定义域是[-1,1],值域是[0,π]

y=arctanx的定义域是(-∞,+∞),值域是(-π/2,π/2)

y=arccotx的定义域是(-∞,+∞),值域是(0,π)

为什么会这样定义，可参看百度百科中的“反三角函数”

网页链接

追问

他们的值域为什么是那些区间？？？？

追答

值域是定义反三角函数时在原三角函数定义域中截取的一个区间，这个区间保证值域不变且是单调区间，通常也把它叫主区间。

Answer 3

(x-1/2)^2-1/4这个最小值不就是x等于1/2时，为-1/4么？
arccos的定义域本来就是[-1，1]啊，因为cos的值域是[-1，1]啊
这个你只要把反三角函数的图像画出来就很清楚了
因为x/3的值域是r，而x^2-x的值域不是r，所以才要拿出来讨论

Answer 4

首先，arcsinx和arccosx的定义域是[-1,1]

其次，这些反三角函数的定义域，就是对应三角函数的值域

追问

啊，是我搞错了，他们的定义域是[-1,1]没错，那值域不应该是负无穷到正无穷吗，怎么一个是负二分之派到二分之派，一个是0到π呢？

追答

恩，主要是取的一个区间的问题，

首先sinx常用的区间是[π/2，-π/2]，cosx常用的区间是[0，π]，
其次，为了比较直观地了解函数，他们的变量和自变量一般会是一 一对应的关系
再者，为了好看出来奇偶性
最后，他们的值域确实可以是（-无穷，+无穷）但前提是，x与y并非是一一对应的！
反三角函数和三角函数，就是互相与y=x对称的