Question

求级数〔(n＋x)∧n〕/〔(n∧(n＋x)〕的收敛域

Answer 1

先求收敛半径r=lim(n→∞) (n+1)/(n+2)=1
然后，
检验x=1，∑(n=0,∞) (n+1)明显发散
检验x=-1，∑(n=0,∞) (-1)^n*(n+1)明显发散
因此，收敛域为(-1,1)

令f(x)=∑(n=0,∞) (n+1)*x^n
在(-1,1)内，根据逐项积分：
∫(0,x) f(t) dt=∫(0,x) (∑(n=0,∞) (n+1)*t^n) dt=∑(n=0,∞) (∫(0,x) (n+1)*t^n) dt)
=∑(n=0,∞) (x^(n+1))
=x+x^2+……+x^n+……
=x/(1-x)
再根据逐项求导：
[∫(0,x) f(t) dt]'=[x/(1-x)]'
f(x)=(1-x+x)/(1-x)^2=1/(1-x)^2

因此，∑(n=0,∞) (n+1)*x^n=1/(1-x)^2，x∈(-1,1)