Question

这个用数学归纳法的行列式怎么解

Answer 1

用行列式性质建立递推关系式，再如图用归纳法证明，你改一下记号就可以了。

Answer 2

按第1行展开，得到Dn=2cosθDn-1 -Dn-2
则Dn-(cosθ+isinθ)Dn-1=(cosθ-isinθ)(Dn-1 -(cosθ+isinθ)Dn-2)= ⋯ = (cosθ-isinθ)^n
同理

Dn-(cosθ-isinθ)Dn-1=(cosθ+isinθ)(Dn-1 -(cosθ-isinθ)Dn-2)= ⋯ = (cosθ+isinθ)^n

也即
Dn-e^(iθ)Dn-1=e^(-niθ) 【1】
Dn-e^(-iθ)Dn-1=e^(niθ) 【2】
【2】乘以e^(iθ)-【1】式乘以e^(-iθ)，得到
(e^(iθ)-e^(-iθ))Dn=e^((n+1)iθ) - e^(-(n+1)iθ)

即
2isinθDn=2isin((n+1)θ)
则
Dn=sin((n+1)θ)/sinθ

Answer 3

按第1行展开即得到递推关系
Dn=2D(n-1)cosθ-D(n-2)
归纳法过程如下
当n=3时
右边=2((2cosθ)^2-1)cosθ-2cosθ
=4(2(cosθ)^2-1)cosθ
=4cos2θcosθ
=2cos2θsin2θ/sinθ
=sin4θ/sinθ
=左边
下面利用归纳假设
Dn=sin(n+1)θ/sinθ
D(n-1)=sinnθ/sinθ
推导出D(n+1)=sin(n+2)θ/sinθ
由递推关系得
D(n+1)=2Dncosθ-D(n-1)
=2(sin(n+1)θ/sinθ)cosθ-sinnθ/sinθ
=(2sin(n+1)θcosθ-sinnθ)/sinθ
=sin(n+2)θ/sinθ