求该幂级数的收敛域
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设an=2^n/(n²+1)
an+1=2^(n+1)/[(n+1)²+1]
比值法
lim n→∞ |an+1/an| |x|
=lim |x| 2^(n+1)/[(n+1)²+1]/2^n/(n²+1)
=lim |x| 2(n²+1)/[(n+1)²+1]
分子分母同除n²
=lim |x| 2(1+1/n²)/[(1+1/n)²+1/n²]
=2|x|＜1
收敛区间为(-1/2，1/2)
当x=-1/2时，级数Un=(-1)^n/(n²+1)
当x=1/2时，级数Un=1/(n²+1)
|Un|=1/(n²+1)＜1/n²
而1/n²收敛，所以原级数收敛
所以收敛域为[-1/2，1/2]
an+1=2^(n+1)/[(n+1)²+1]
比值法
lim n→∞ |an+1/an| |x|
=lim |x| 2^(n+1)/[(n+1)²+1]/2^n/(n²+1)
=lim |x| 2(n²+1)/[(n+1)²+1]
分子分母同除n²
=lim |x| 2(1+1/n²)/[(1+1/n)²+1/n²]
=2|x|＜1
收敛区间为(-1/2，1/2)
当x=-1/2时，级数Un=(-1)^n/(n²+1)
当x=1/2时，级数Un=1/(n²+1)
|Un|=1/(n²+1)＜1/n²
而1/n²收敛，所以原级数收敛
所以收敛域为[-1/2，1/2]
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