Question

已知线性无关证明线性无关题目在图片上 谢谢

Answer 1

假定a1-a2,a2+a3,a3-a1线性相关,则存在不全为零的系数k1,k2,k3,满足
k1(a1-a2)+k2(a2+a3)+k3(a3-a1)=0 （1）
化简后有
(k1-k3)a1+(k2-k1)a2+(k3+k2)a3=0 （2）
考虑到a1,a2,a3线性无关,则当且仅当
k1-k3=k2-k1=k3+k2=0时,（2）式才成立
由此可得：
k1=k3=k2=0
这与假设矛盾,a1-a2,a2+a3,a3-a1线性相关假设不成立,即a1-a2,a2+a3,a3-a1是线性无关的.

Answer 2

显然ε不等于0（因为A^2ε不等于0）
设任意实数k1，k2，k3，满足
k1ε+k2Aε+k3A^2ε=0 【1】
则
A(k1ε+k2Aε+k3A^2ε)=0
即
k1Aε+k2A^2ε+k3A^3ε=0
即
k1Aε+k2A^2ε=0 【2】

则A(k1Aε+k2A^2ε)=0
即
k1A^2ε+k2A^3ε=0
也即
k1A^2ε=0
由于A^2ε不等于0，则
k1=0
因此k2=0 【根据2】

k3=0【根据1】

由k1，k2，k3的任意性，得知
ε，Aε，A^2ε线性无关。

Answer 3