Question

求一阶偏导数

Answer 1

f'x(x,y)=2xy/(x^2+y^2)-2x^3y/(x^2+y^2)^2,f'y(x,y)=x^2/(x^2+y^2)-2x^2y^2/(x^2+y^2)^2

注意f(x,0)=f(0,y)=0，对不等于0的x,y成立。按定义可求得f在（0,0）的两个偏导数都等于0。对（x,y)异于原点的点。

在一元函数中，导数就是函数的变化率。对于二元函数的“变化率”，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多。

在 xOy 平面内，当动点由 P(x0,y0) 沿不同方向变化时，函数 f(x,y) 的变化快慢一般来说是不同的，因此就需要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 点处沿不同方向的变化率。

偏导数的表示符号为:∂。偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。

扩展资料：

x方向的偏导

设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 f'x(x0,y0)或函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数。

实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。

y方向的偏导

同样，把 x 固定在 x0，让 y 有增量 △y ，如果极限存在那么此极限称为函数 z=(x,y) 在 (x0,y0)处对 y 的偏导数。记作f'y(x0,y0)。

Answer 2

1.∂z/∂x=e^(-xy)+xe^(-xy)•(-y)=(1-xy)e^(-xy).
∂z/∂y=xe^(-xy)•(-x)=-x^2 e^(-xy).
2.∂z/∂x=1/(1+x^y)•1/(2√x^y)•yx^(y-1).(由反三角、根式、幂函数求导公式）
=1/2•yx^(y-1)/[(1+x^y)√x^y].
∂z/∂x=1/(1+x^y)•1/(2√x^y)•x^y lnx.(由反三角、根式、指数函数求导公式）
=1/2•x^y lnx/[(1+x^y)√x^y].

Answer 3

如图

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谢了