Question

两向量A(a,c)和B(b,d)的坐标相乘公式A×B＝ab+cd,怎么证明?

Answer 1

证明：

设两个向量a=OA−→−=(x1,y1),b=OB−→−=(x2,y2)a=OA→=(x1,y1),b=OB→=(x2,y2)，两向量夹角为θθ，向量点积的定义如下：

a⋅b=|a|⋅|b|cosθ=x1x2+y1y2a⋅b=|a|⋅|b|cos⁡θ=x1x2+y1y2

第一部分可以通过解析几何理解，即一个向量向另一个向量做投影。然而第二部分的定义有什么意义？关键问题是，为什么|a|⋅|b|cosθ=x1x2+y1y2|a|⋅|b|cos⁡θ=x1x2+y1y2？下面就对这个问题进行证明。

∵OA−→−∴BA−→−=OB−→−+BA−→−=OA−→−−OB−→−=(x1−x2,y1−y2)(1)(2)(1)∵OA→=OB→+BA→(2)∴BA→=OA→−OB→=(x1−x2,y1−y2)

在△OAB△OAB中，根据余弦定理：|BA−→−|2=|OA−→−|2+|OB−→−|2−2|OA−→−||OB−→−|cosθ|BA→|2=|OA→|2+|OB→|2−2|OA→||OB→|cos⁡θ，并且|BA−→−|2=(x1−x2)2+(y1−y2)2|BA→|2=(x1−x2)2+(y1−y2)2，|OA−→−|2=x21+y21|OA→|2=x12+y12，|OB−→−|2=x22+y22|OB→|2=x22+y22，所以(x1−x2)2+(y1−y2)2=(x21+y21)+(x22+y22)−2|OA−→−||OB−→−|cosθ(x1−x2)2+(y1−y2)2=(x12+y12)+(x22+y22)−2|OA→||OB→|cos⁡θ，因此便有：

|OA−→−||OB−→−|cosθ=x1x2+y1y2|OA→||OB→|cos⁡θ=x1x2+y1y2

即：|a|⋅|b|cosθ=x1x2+y1y2

参考资料

未知：http://mail.smhs.kh.edu.tw/~tch044/vector/sub-2.htm

Answer 2

这其实很简单