Question

反函数一定是单调函数吗为什么存在反函数

Answer 1

反函数不一定是单调函数。事实上，函数单调是反函数存在的充分不必要条件。

（你的问题没发完整，后面我就按照自己的理解来说了）
如果函数分段单调，那么可以每一段分别处理，求出每一段的反函数。但要知道，分段的反函数并不是整个定义域下的反函数。
在规定函数连续的情况下，函数单调是反函数存在的充要条件。
如果你只是高中程度的话，了解以上结论就行了（这些都不必背），而且不需要再往下看了：
下面是函数不单调但反函数存在的一个例子：设函数f是R到R的映射，当x为有理数时，f(x)=x，当x为无理数时，f(x)=-x。这样构造的函数处处不单调，但反函数却存在。

Answer 2

严格单调和反函数的关系(老黄学高数第33讲)