Question

一道向量组线性相关证明题，该如何解答？

a4能用a1,a2,a3表示，可是有什么意义呢？

Answer 1

设k1a1+k2a2+k3a3+k4(a5-a4)=0.往证k1=k2=k3=k4=0.
首先，k4=0.因若不然，则有
a5=-k1/k4 a1 - k2/k4 a2 - k3/k4 a3 +a4.
但a4可由a1,a2,a3线性表出，带入上式就导致a5可由a1,a2,a3线性表出，这与r(a1,a2,a3,a5)=4矛盾！所以k4=0.
类似的，可以导出k3, k2, k1都是0。从而a1,a2,a3,a5-a4线性无关，即r(a1,a2,a3,a5-a4)=4.