Question

求函数y=3/(x^2-2x＋4)图形的拐点与凹凸区间

求函数y=3/(x^2-2x＋4)图形的拐点与凹凸区间

Answer 1

求函数y=3/(x²-2x＋4)图形的拐点与凹凸区间。

解：定义域：(-∞，+∞)；分母x²-2x+4的判别式∆=4-16=-12<0，因此x²-2x+4>0恒成立。

令y'=-3(2x-2)/(x²-2x+4)²=-6(x-1)/(x²-2x+4)²=0，得驻点x=1；

当x<1时y'>0；当x>1时y'<0；故x=1是极大点，maxy=y(1)=1；

再令y''=[-6(x²-2x+4)²+6(x-1)•2(x²-2x+4)•(2x-2)]/(x²-2x+4)^4

=(x²-2x+4)[-6(x²-2x+4)+24(x-1)²]/(x²-2x+4)^4

=(x²-2x+4)(18x²-36x)/(x²-2x+4)^4=18x(x-2)/(x²-2x+4)³=0，得x₁=0；x₂=2；

y(x₁)=y(0)=3/4；y(x₂)=y(2)=3/4；故得拐点M(0，3/4)和N(2，3/4)；

当x<0时y''>0；当0<x<2时y''<0；当x>2时y''>0；

∴向下凸(即向上凹)的区间为：(-∞，0]∪[2，+∞)；向上凸(即向下凹)的区间为[0，2];

x→±∞limy=x→±∞lim[3/(x²-2x＋4)]=0；因此有水平渐近线y=0；其图像如下：