Question

如何证明一个分段函数是连续函数？

Answer 1

首先看各分段函数的函数式是不是连续（这就是一般的初等函数是否连续的做法），然后看分段函数的分段点，左右极限是否相等并等于函数值，如果相等就是连续函数。分段点处的左极限用左边的函数式做，分段点处的右极限用右边的函数式做。

函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。对于这种现象，我们说因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。

如果自变量在某一点处的增量趋于0时，对应函数值的增量也趋于0，就把f(x)称作是在该点处连续的。在函数极限的定义中曾经强调过，当x→x0时f(x)有没有极限，与f(x)在点x0处是否有定义并无关系。但由于现在函数在x0处连续，则表示f(x0)必定存在，显然当Δx=0（即x=x0）时Δy=0<ε。于是上述推导过程中可以取消0<|Δx|这个条件。

Answer 2

首先看各分段函数的函数式是不是连续（这就是一般的初等函数是否连续的做法）
然后看分段函数的分段点，左右极限是否相等并等于函数值。
分段点处的左极限用左边的函数式做，
分段点处的右极限用右边的函数式做。