Question

大学数学级数问题

Answer 1

当p>1时,由于|sinnx/n^p|≤1/n^p,而级数∑1/n^p收敛,所以原级数绝对收敛.
当0<p≤1时,利用积化和差公式,
2sin(x/2)*sinx+2sin(x/2)*sin2x+...+2sin(x/2)*sinnx
=cos(x/2)-cos(3x/2)+cos(3x/2)-cos(5x/2)+...+cos(nx-x/2)-cos(nx+x/2)
=cos(x/2)-cos(nx+x/2)≤2
于是sinx+sin2x+...+sinnx=∑sinnx≤2/2sin(x/2)=1/sin(x/2),即部分和数列有界.
又易证1/n^p单调趋于0,由狄利克雷判别法,原级数收敛.
另一方面,由不等式|sinnx|≤1,两边乘以|sinnx|得sin²nx≤|sinnx|
于是|sinnx/n^p|≥sin²nx/n^p
=(1-cos2nx)/2n^p
=1/2n^p-cos2nx/2n^p
同理可证∑cos2nx/2n^p收敛,但因1/2n^p发散,所以∑|sinnx/n^p|发散.所以原级数条件收敛.