Question

概率论与数理统计 求解一道题的极大似然估计和矩估计，要过程谢谢

Answer 1

(1)矩估计。∵样本Xi(i=1,2,…，n)来自于总体X，∴其均值x'=(1/n)∑xi；f(xi)=(1/θ)e^(-xi/θ)。
又，根据均值的定义，E(X)=∫(-∞,∞)xf(x)dx=∫(0,∞)(x/θ)e^(-x/θ)dx=θ。∴按照矩估计的定义，θ=x'。∴θ的矩估计θ'=(1/n)∑xi。
(2)似然估计。作似然函数F(xi,θ)=∏f(xi)=∏[(1/θ)e^(-xi/θ)]=(1/θ^n)e^(-∑xi/θ)。
求∂[lnF(xi,θ)]/∂θ，并且令∂[lnF(xi,θ)]/∂θ=0，∴-n/θ+∑xi/θ²=0。∴θ的似然估计θ'=(1/n)∑xi。
供参考。