求一道高数题 7/
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1、x∫f(t)dt = ∫xf(t)dt
因为x相对于后面的关于t的积分是一个常数,积分过程中,x不积分,积分结果的表达式如何与x在积分符合里外无关
如f(t)=t,则x∫tdt = x·(t²/2)|[0,x] = x³/2, ∫xtdt = (xt²/2)|[0,x] = x³/2
2、∫(0,x)(x-t)f(t)dt这个积分,t的取值范围是0<t<x
3、按中值定理,∫(0,x)f(t)dt =f(y)(x-0), (0<y<x), ∫(0,x)(x-t)f(t)dt = (x-z)f(z)·(x-0) (0<z<x)
这里,y,z就是中值定理中的那个必然存在的一点
由于对0<y,z<x
f(y)>0, (x-z)f(z)>0 (见当0<t<x时,f(t)>0, (x-t)f(t)>0,是y、z还是t没有关系,只是换了个字母,满足条件在0和x之间就行)
而y>0,z>0
所以f(y)(x-0) =f(y)x>0, (x-z)f(z)·(x-0) = (x-z)f(z)x > 0
因为x相对于后面的关于t的积分是一个常数,积分过程中,x不积分,积分结果的表达式如何与x在积分符合里外无关
如f(t)=t,则x∫tdt = x·(t²/2)|[0,x] = x³/2, ∫xtdt = (xt²/2)|[0,x] = x³/2
2、∫(0,x)(x-t)f(t)dt这个积分,t的取值范围是0<t<x
3、按中值定理,∫(0,x)f(t)dt =f(y)(x-0), (0<y<x), ∫(0,x)(x-t)f(t)dt = (x-z)f(z)·(x-0) (0<z<x)
这里,y,z就是中值定理中的那个必然存在的一点
由于对0<y,z<x
f(y)>0, (x-z)f(z)>0 (见当0<t<x时,f(t)>0, (x-t)f(t)>0,是y、z还是t没有关系,只是换了个字母,满足条件在0和x之间就行)
而y>0,z>0
所以f(y)(x-0) =f(y)x>0, (x-z)f(z)·(x-0) = (x-z)f(z)x > 0
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