Question

在大学物理里面，定积分到底是什么意义？

Answer 1

问得好!

这是一个常见的问题：
1、一般的数学教师的教法是：
(1)、两边先不定积分，得到一个含有积分常数的解；
(2)、然后根据初始条件，解出积分常数；
(3)、将积分常数，代入含有积分常数的解中，得到最后的结果。
这种方法在解常微分方程时，屡屡如此。
2、一般的物理教师、天文、地质、气象、水文、工程、、、的教师的解法是：
(1)、两边同时定积分，一步到位，得到最后结果。

说明：
第一、两种解法，也就是不定积分、定积分的解法，没有任何本质差别；
第二、工程中、自然科学中的具体问题，都存在一个对应问题，也就是定解条件。
例如，初始时刻 t₁，对应的速度是v₁；末时刻 t，对应的是速度 v，
两边同时积分，v 从 v₁积分到 v，t从 t₁积分积到 t。
第三、数学教师是为了教数学而教数学，用不定积分他们不觉得是浪费时间；
搞科学和工程应用的，为解决实际问题而用数学，用不定积分纯属浪费时间。
第四、如果写论文时，用不定积分，是浪费篇幅，是下里巴人的写法，专业学报是
不可能浪费篇幅给你用不定积分的方法的，全用定积分，一步到位。

最常见的例子，可以在大学物理，也就是普通物理，定积分的方法，贯彻始终。
普通物理中、理论物理中，如果用不定积分，那是无能的教师才会采取的方法。

用定积分，才能体现具体的物理意义，和物理过程；
用不定积分，不能反映物理过程，更谈不上准确的物理意义了。

积分的有两种真正的物理意义，每种都有两个含义个：
第一种：一是对状态量的求和，如体积、质量、电量、能量等等；
二是对过程量的累积，如做功、焓变、熵变、电势差等等。
第二种：一是对广延量的求和，如质量、电量、能量、转动惯量等等；
二是对强度量的累积，如电场强度、磁感应强度、温度、压强等等。
(这最后强度累积的方法，英文是superposition，汉译是叠加原理)

【说明】：一般的数学教师，并不能认识到积分的这两种区别，原因是：
1、他们真正懂科学、懂工程的人是极少数中的极少数，一般的高中数学教师，
几乎全然不通，根本无法理解，积分在各个科学领域中、工程领域中具体
运用，更不可对科学运用、工程运用做出整体的概括性的分析。在根本上，
他们就是兴趣缺缺。
2、即使是大学数学教授，没有字典，能将英文运用自如，能看、能写、能讲、
能用英文评论数学、科学的人，凤毛麟角。他们的绝大部分脱离了字典就
是瞎子，有了字典仍是哑巴，比比皆是。中学教师，一般而言，数学教师
几乎全是英文高瘫，尤其是县城以下的中学，一所学校平均能有一个数学
教师能应用自如地运用英文，都是天方夜谭。
所以，上面的两种分类，一般教师，教一辈子，注定不会涉及，因为这些还涉及
到methodology，philosophy，logics、、、、。
越是高级的学报，越是专业的教师，越是高深的课程，越是采用定积分的方法。
原因就是：讲专业才是重点。没有时间，也没有必要把时间浪费在花拳绣腿上。
尤其是二维、三维的问题，都必须用定积分解答。

养成习惯就好，省时间，概念清楚，解答精炼，专业性强！

数学老师用不定积分的方法，只能当成入门时的玩艺，以后用定积分，
才能显示你有解决实际问题的能力。以后的二重积分、三重积分、
空间曲面积分、空间曲线积分、、、、都必须用定积分。

【结论】：
1、用不定积分，得到的只是笼统的结论，还必须得出具体的积分常数，这个过程
不如一步到位，直接定积分。其实，确定积分常数的过程，就是定积分的思想，
就是定积分的方法，具体是表现在积分时两边的下限上，待定积分常数用的就
是积分的下限。这方面，楼主要仔仔细细想想，初学者，一时片刻是难悟透的。

2、物理意义的体现有两方面：
第一：积分之前的等式，这个等式如果是数学恒等式，那这个积分只具有数学
意义，而不具有物理意义，其实也只是数学游戏而已，或者说是数学技
巧而已。积分来积分去，只是形式的积分，只是技巧的提高。

只有两边不是恒等式时，才是本质，这类的积分一定涉及具体的物理原
理、工程原理。有时为了简化积分，可以对两侧做恒等变换，然后积分，
数学教师的那种恒等式的积分，只有在这种情况下，才能有价值。

所以，物理意义的体现，第一体现在积分前的方程上，而不是等式上。

第二：不定积分后的常数确定，就是定积分前的下限确定，本质上是统一问题。
定积分的上下限的确定，本身就是物理意义的第二种体现，也就是，某
一初始时刻对应的是什么物理量，终了时刻对应的是什么物理量。这种
对应可能是时间上的对应，也可能是边界上的对应，合起来这类问题就是
常微分方程、偏微分方程的【定解问题】。教常微分方程、偏微分方程的
教授，基本上全是数学系毕业的，他们的共同缺陷是不能精通天文、地质、
气象、水文、海洋、机械、电子、电气、理论物理、理论化学等等等学科，
确定边界条件是他们的集体致命弱点，能确定的只是极少数极少的特例。

在初等数学中，会解方程就万事大吉。可是到了高等数学中，解微分方程，
特别是偏微分方程，必须根据定解条件，才能解答。对于初学高等数学者，
对于初等数学学习者，这是不可思议的事情。由于我们的教学培养出一大
批喜欢雄辩滔滔的学生，他们对新的理论出现时，不是冷静思考，而是条
件反射式的喜欢反驳，这种极不理性的反驳情绪不是个别学生，它不知葬
送了多少学生的前途。可是，我们的教师们本身就做了很多这样的示范与
鼓励。以至于，我们在现代数学、现代科学、现代工程学中，在国际上，
我们都是三流以外的脚色，毫无发言权，所有的理论都是舶来品，我们无
知无觉，我们乐此不疲。

所以，物理意义的体现，第二是体现在定解条件上。而定解条件的体现就
在于定积分的一气呵成上。

附：定解条件的英文是initial-value problem，楼主可以网上搜索。
initial-value problem，表面意译是“初值问题”，这个翻译不算错。
引申翻译就是由初值问题解决常微分方程、偏微分方程的最后的
解，也就是确定最后的解的问题，所以，初值问题的本身含义也
就是定解条件。

追问

嗯，非常感谢，我会分享给同学们的。😊😊