Question

罗尔定理与函数零点

1.罗尔定理推导导数零点，
2.导数零点不存在推导函数不存在零点。
问题一:上述可以反推吗
问题二:1.2有联系吗

Answer 1

1.在闭区间连续，开区间可导，若f(a)=f(b)=>f’($)=0。这是函数在区间内上下波段，导致一定区间内存在极值所以存在这一点的导函数值为0。
2.导函数零点不存在，说明导函数严格大于或小于0，在区间内导函数没有零点。这只能表明原函数严格单调递增或递减，但是不能判断原函数没有零点。比如y=x在全域内严格单调递增，导函数恒等于1，但是原函数在0处取零点。
所以不可以反推。
1，2的联系，零点定理一般应用在中值定理的习题，最大的应用就是找函数零点的问题。但是不是你所理解的这样。一般构造一个F(x)=>F’(x)=f(x),F(a)=F(b)=>f(&)=0。这样就可以找到现有函数关系的零点了。所以你那个第二个命题不成立，你拿这个理解做寻找零点的题是不对的。

追问

第二个问题，改为原函数没有两个零点

那函数存在两个零点与罗尔定理，二者等价吗

追答

你要搞清楚一点就是，罗尔定理，是描述的什么状况。f(a)=f(b) => f`(θ)=0。他描述的是函数在区间内有两个相等的函数值时，一定存在一点的导函数值为0。
你不能通过f`(x)，有没有函数值为0的点，反过来推f(x)否有相等的两个点。这是一定不可以反过来推的。
罗尔定理，可以作为找f(x)存在零点的一种工具，他的应用方式是比较特殊直接的。但你不能反过来用。原函数有没有零点，和其导函数没有任何关系。

追问

好的

两个都不能反推哈

追答

是的呢，要分清楚导数的含义和罗尔定理的应用本身就是有区别的。他们唯一的联系仅限于定理中说的那一点而已

追问

好像，导数不存在是可以推导函数没有两个零点的啊

追答

把过程贴出来

追问

错的，我本来意思是导数的零点不存在那么极值不存在，那原函数就没有两个零点。但是极值点可以不是驻点

追答

……你记住极值和零点没有必然关系，原函数就算没有两个零点，只要区间内函数导数前后产生正负变化也有极值产生。|x|这个函数在零这一点甚至不可导，整个函数找不到两个零点，但是在x=0这一点一样可以取到极小值乃至最小值

以及，如果你学完极值就应该知道，找函数的极致上两个地方找，导函数为零的点，也就是驻点，以及函数没有定义的地方也可能产生极值点。但是驻点不一定是极值点。你学到这里一定学过极限了，有时候都可以通过题目给出的极限式子，通过保号性判断出邻域内某个点是不是极值点。

以及原函数就算有两个零点，都不一定有极值点，这也就是你提到的驻点不一定是极值点。比如y=0，这个函数在整个区间内恒等于零，他任意两个零点之内倒数都是0，但是他没极值